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1矩陣法

鄰接矩陣自乘公式如下：式中，A為鄰接矩陣；T為連通矩陣；上標（k）表示該矩陣為k級連通矩陣。鄰接矩陣表示節(jié)點間一級連接，因此鄰接矩陣是一級連通矩陣，即T（k）=A。重復(fù)式（1）直到鄰接矩陣的n-1次方，可得到全連通矩陣。通過對連通矩陣平方法可以快速得到全連通矩陣，由此得到平方法公式如下。實際上求全連通矩陣需要的矩陣乘法次數(shù)要少于n-2次乘法運算。如果相鄰2次求得的連通矩陣相同，即連通矩陣的元素不再發(fā)生變化，就已經(jīng)得到全連通矩陣了。通過矩陣相乘得到的連通矩陣是一個稠密矩陣，并且其稠密的程度隨著矩陣相乘的次數(shù)增加而增加。式（1）中2個相乘的矩陣之一是稠密矩陣，計算速度很慢。式（2）則需要log2（n-1）次矩陣乘法運算。實際上求全連通矩陣需要的矩陣乘法次數(shù)要少于上述次數(shù)。如果相鄰2次求得的連通矩陣相同，即連通矩陣的元素不再發(fā)生變化，就已經(jīng)得到全連通矩陣了。

2稀疏矩陣法網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)

矩陣法求全連通矩陣時一般不采用稀疏技術(shù)，而2個滿陣存儲的矩陣相乘是很浪費時間的，所以矩陣法的運算時間長，很難滿足實時性的要求。為解決這一問題，本文利用了基于稀疏矩陣技術(shù)的矩陣法。式（1）2個相乘的矩陣中，連通矩陣是稠密矩陣，而鄰接矩陣則是稀疏矩陣，可以對它應(yīng)用稀疏矩陣技術(shù)。

2.1布爾矩陣存儲鄰接矩陣就是布爾矩陣，矩陣中的元素只有“0”和“1”，對非零元素存儲時，不需要存儲元素的值，只需要記錄值為1的元素的行號和列號即可。對鄰接矩陣的存儲，可以使用下列2個數(shù)組：1）IA用來記錄每個非零元素的列號；2）JA用來記錄每個非零元素的行號。

2.2連通矩陣的計算采用式（1）求連通矩陣時，連通矩陣元素的計算如式（3）所示。

2.3矩陣的對稱性鄰接矩陣和連通矩陣都是對稱陣，計算連通矩陣時，可以只計算矩陣的上三角元素，根據(jù)對稱性可以直接寫出下三角對稱元素。

2.4節(jié)點優(yōu)化編號稀疏技術(shù)在實施時有2個關(guān)鍵點，一是排零存儲和排零運算，二是節(jié)點優(yōu)化編號。排零存儲和排零運算能夠有效避免對計算結(jié)果沒有影響的元素的存儲和計算，大大提高程序的計算速度。節(jié)點優(yōu)化編號順序會直接影響到矩陣A的因子表矩陣的系數(shù)度，也對計算效率有直接影響。本文采用Tinney-2編號方法[12]。這種方法為半動態(tài)節(jié)點優(yōu)化編號法或最小度算法。這種方法按最小出線度編號，不同點是在編號過程中及時排除已經(jīng)被編號的節(jié)點發(fā)出的邊對未編號節(jié)點的出線度的影響。選出某個出線度小的節(jié)點參與編號，按圖上因子分解的辦法模擬消去該節(jié)點，只進行網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變化的處理，而不進行真實的邊權(quán)計算，這個已編號的節(jié)點及其發(fā)出的邊不再參與后面的模擬消去運算。在剩下的未消去的子圖上重復(fù)進行上述編號的過程。

2.5全連通矩陣流程圖形成全連通矩陣的流程圖見圖1。連通矩陣計算時，僅需要對原連通矩陣中值為0的元素進行計算，值為1的元素?zé)o需計算。

2.6稀疏矩陣的網(wǎng)絡(luò)分析本文在網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)分析的過程中采用行掃描法分析全聯(lián)通矩陣。由于可以通過全聯(lián)通矩陣中一行的元素得知一個聯(lián)通塊中所包含的所有節(jié)點，即元素相應(yīng)位置是1就意味著對應(yīng)的2個節(jié)點向聯(lián)通，所以只需要聯(lián)通矩陣中屬于同一個聯(lián)通塊的某一行矩陣元素即可判斷出聯(lián)通塊的節(jié)點組成。

3算例分析

本文算例為某一地區(qū)的電力系統(tǒng)，系統(tǒng)規(guī)模為：廠站156個，母線段752個，開關(guān)7529個，輸電線路302條，變壓器225臺，其中雙繞組變壓器122臺，三繞組變壓器103臺，串聯(lián)電抗器支路8條，無功補償電容204個，無功補償電抗21個。圖2表示網(wǎng)絡(luò)的部分示意圖。本文采用C語言進行編程來實現(xiàn)算法，開發(fā)環(huán)境采用的是VisualC++6.0。并且在主頻2.13GHz的PC機上進行的，通過不同的矩陣算法計算都得到了正確的網(wǎng)絡(luò)拓撲分析結(jié)果，只是在需要進行的乘法次數(shù)和計算時間上有顯著的差別。

3.1矩陣乘法次數(shù)比較本文算法與2種傳統(tǒng)算法進行比較，幾種算法電氣島分析時矩陣乘法次數(shù)表見表1。由表1可見，鄰接矩陣自乘算法的矩陣乘法次數(shù)較多，連通平方算法可以明顯減少矩陣乘法次數(shù)。而優(yōu)化稀疏矩陣法的矩陣乘法次數(shù)也比鄰接矩陣自乘法要少，與原稀疏矩陣算法相同，但是多于連通矩陣平方算法。

3.2幾種矩陣法計算時間比較下面比較上述幾種矩陣法在對算例進行拓撲分析時的計算時間，如表2所示。由表2可知，連通矩陣平方算法比鄰接矩陣自乘算法的計算速度明顯要快，優(yōu)化稀疏矩陣比鄰接矩陣和連通矩陣平方算法都要快，而優(yōu)化稀疏矩陣算法比原來稀疏矩陣算法運行的時間短。這是因為電氣島分析消耗了矩陣法的大部分計算時間。電氣島分析時，矩陣階數(shù)很大，乘法運算時間長；而母線分析時在各個電壓等級內(nèi)進行，涉及的矩陣階數(shù)較小。

4結(jié)論

通過表1，表2數(shù)據(jù)對比，可得出優(yōu)化稀疏矩陣法的乘法次數(shù)比鄰接矩陣自乘少，與原稀疏矩陣算法相同；并且優(yōu)化稀疏矩陣算法比鄰接矩陣法，連通矩陣平方法和原來稀疏矩陣算法計算速度快。同時，還利用鄰接矩陣的對稱性，采用節(jié)點優(yōu)化編號等手段來提高計算速度，效果比較明顯，能夠有效解決矩陣法的實用性問題。

作者：王惠中朱宏毅張熒何英單位：蘭州理工大學(xué)永登縣供電公司