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《機(jī)械工程學(xué)報(bào)》2014年第十二期

1基本特性分析

如圖1所示，左側(cè)是一個二自由度彈簧－質(zhì)量線性主結(jié)構(gòu)。假設(shè)該結(jié)構(gòu)各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和彈簧剛度分別是：m1=m2=2kg，k1=k2=20N/m。根據(jù)線性振動基本理論，可得主結(jié)構(gòu)的固有頻率和相應(yīng)的振型：ω1＝1.954rad/s，ω2＝5.117rad/s，式中，假設(shè)ωf=2.0rad/s，這可使激勵能量主要集中在結(jié)構(gòu)的第一階共振頻率附近。圖2是外擾力時間歷程曲線。經(jīng)過大約30秒左右的時間，外激勵已基本消失。為了控制主結(jié)構(gòu)的最大變形以及動應(yīng)力，抑制其響應(yīng)，我們在主結(jié)構(gòu)的右端，附加一個沖擊減振器，見圖1所示。通常將沖擊減振器的動力學(xué)模型簡化成一個質(zhì)點(diǎn)m3，通過一個軟彈簧k3與主振結(jié)構(gòu)相連[7-9]。根據(jù)以往對沖擊減振器的研究結(jié)果[9-11]，假設(shè)其設(shè)計(jì)參數(shù)為m3=0.05×m2=0.1kg，k3=0.01×k2=0.2N/m，碰撞恢復(fù)系數(shù)Rc=0.6，碰撞間隙e=0.3m。安裝沖擊減振器后，質(zhì)點(diǎn)(自由度)2和3會發(fā)生非彈性碰撞，導(dǎo)致質(zhì)點(diǎn)2、3的速度發(fā)生突然改變，由此可耗散主振動系統(tǒng)的一部分機(jī)械能。即碰撞伴隨有系統(tǒng)振動能量(動能)的轉(zhuǎn)移和損耗。除了碰撞發(fā)生時刻以外，整個系統(tǒng)仍是一個線性系統(tǒng)，可按線性振動基本理論分段描述其響應(yīng)歷程。此時系統(tǒng)的振動方程：比較附加沖擊減振器前、后系統(tǒng)的頻率和振型可知，此時的第一階固有頻率主要描述沖擊減振器的局部運(yùn)動。由于在沖擊減振器中未引入阻尼，因此相應(yīng)的阻尼率非常小，該振動分量衰減會很慢。而第二、三階頻率以及模態(tài)阻尼率與主結(jié)構(gòu)的原有值基本相同。分析整個系統(tǒng)響應(yīng)的關(guān)鍵是確定沖擊減振器碰撞發(fā)生的準(zhǔn)確時刻，以及各質(zhì)點(diǎn)的速度變化情況。碰撞發(fā)生時，質(zhì)點(diǎn)2和3的相對位移應(yīng)滿足以下條件：式中，上標(biāo)()分別代表碰撞前、后，各質(zhì)點(diǎn)的速度項(xiàng)。由于碰撞過程中的動量守恒，可得碰撞后的兩個質(zhì)點(diǎn)的速度值[8-10]：以往，人們曾試圖采用線性振動理論的分析方法，分段給出系統(tǒng)位移響應(yīng)的解析表達(dá)式[3,4]。然而，由于碰撞過程的復(fù)雜性，實(shí)際上難以獲得碰撞的準(zhǔn)確時刻，因此也無法獲得系統(tǒng)響應(yīng)的準(zhǔn)確表達(dá)式。本文采用自適應(yīng)步長4階Runge-Kutta數(shù)值方法，計(jì)算系統(tǒng)的位移響應(yīng)，確定碰撞發(fā)生的準(zhǔn)確時刻，以及各質(zhì)點(diǎn)振動速度的變化情況。進(jìn)而從能量角度，闡述振動能量的轉(zhuǎn)移、擴(kuò)散和損耗規(guī)律，研究振動響應(yīng)的衰減機(jī)理。文獻(xiàn)[8,9]利用小波變換譜，只是定性地描述了能量的轉(zhuǎn)移和擴(kuò)散現(xiàn)象。圖3是附加沖擊減振器前后，質(zhì)點(diǎn)x2的位移響應(yīng)曲線。附加沖擊減振器以前，經(jīng)過100s的時間，振動響應(yīng)仍然還很顯著，響應(yīng)持續(xù)時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過外激勵的有效作用時間。而附加沖擊減振器以后，雖然結(jié)構(gòu)未增加其他阻尼，但振動響應(yīng)卻能夠快速衰減。這得益于減振器與結(jié)構(gòu)連續(xù)地發(fā)生碰撞，從而不斷消耗振動能量的結(jié)果。x2的最大位移得到抑制，從0.6665m降到0.5929m，降幅達(dá)11.0%。經(jīng)過大約100s的時間，x2的位移響應(yīng)已得到有效衰減。由圖3可見，在響應(yīng)后期，x2的運(yùn)動周期拉長，響應(yīng)逐漸向第一階模態(tài)過渡，振動能量集中于m3的局部運(yùn)動，因此響應(yīng)衰減緩慢。同樣，x1的最大位移也能得到控制，從0.4132m降到0.3789m。

2振動能量耗散分析

當(dāng)兩個質(zhì)點(diǎn)發(fā)生碰撞時，由動量傳遞而引起這兩個質(zhì)點(diǎn)的速度發(fā)生突變，即碰撞前后系統(tǒng)的動能將在各質(zhì)點(diǎn)間出現(xiàn)轉(zhuǎn)移。每次碰撞會造成系統(tǒng)的動能有一定的損耗：式中，Ed是每次碰撞系統(tǒng)動能的損耗量。由上式可知，每次碰撞造成的振動能量損耗量，與發(fā)生碰撞的兩個質(zhì)點(diǎn)的相對速度有很大的關(guān)系，此外還與沖擊減振器的質(zhì)量及其恢復(fù)系數(shù)有關(guān)。但是，沖擊減振器的質(zhì)量和恢復(fù)系數(shù)受客觀條件限制，一般只能在一定范圍內(nèi)合理取值。表1示出了在響應(yīng)的不同時段，在碰撞發(fā)生時刻，系統(tǒng)動能的變化情況。在開始階段，外激勵不斷輸入能量，振動響應(yīng)逐漸增大。于是碰撞很快發(fā)生(經(jīng)過半個最大周期)，而且消耗的能量也較大，這對于抑制位移響應(yīng)的快速增大非常有必要。在響應(yīng)后期階段(40秒以后)，外擾力幾乎消失，不再給系統(tǒng)輸入能量，因此系統(tǒng)的振動能量在逐漸減少。由碰撞引起的能量損耗量也在不斷減小。比較表1中碰撞引起的能量消耗可以發(fā)現(xiàn)，振動能量的損耗并非是一個常值，而且與碰撞發(fā)生前系統(tǒng)的動能(或速度)關(guān)系不大。例如，第5次(開始階段)或第28次(后期階段)碰撞前的動能雖然都比較大，但碰撞引起的振動能量損耗卻相對較小。此外，不論是在響應(yīng)的開始階段和還是后期階段，發(fā)生碰撞的時間間隔也并是固定的。這無疑也增加了解析計(jì)算響應(yīng)的難度。表2列出了在碰撞發(fā)生時刻，系統(tǒng)的模態(tài)動能變化情況。比較碰撞前后結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，響應(yīng)開始階段，碰撞引起系統(tǒng)的動能，在各階模態(tài)間相互轉(zhuǎn)移，使振動能量重新分布。這使得系統(tǒng)所有振動模態(tài)都能夠被激起，避免了振動能量集中在結(jié)構(gòu)的某一階模態(tài)上，從而使響應(yīng)能夠在各階模態(tài)上同時減，加快響應(yīng)衰減速度。這有利于減小結(jié)構(gòu)的最大變形，防止結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷。在響應(yīng)后續(xù)階段，系統(tǒng)基本處于自由振動狀態(tài)，振動能量主要從第一、第二階模態(tài)向第三階模態(tài)擴(kuò)散轉(zhuǎn)移。由于高階模態(tài)的阻尼率比較大，這同樣也可以加快系統(tǒng)響應(yīng)衰減的速度。可見，正是由于沖擊減振器連續(xù)不斷地碰撞，才使主結(jié)構(gòu)的黏性阻尼充分發(fā)揮了作用。如果沒有碰撞發(fā)生，線性振動系統(tǒng)模態(tài)能量幾乎不發(fā)生轉(zhuǎn)移和擴(kuò)散，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)主要以一種模態(tài)運(yùn)動的方式緩慢衰減。圖3所示原結(jié)構(gòu)的響應(yīng)歷程正是如此。系統(tǒng)中，由黏性阻尼消耗的振動能量Ec可按下式計(jì)算：采用數(shù)值積分方法，可以計(jì)算主結(jié)構(gòu)內(nèi)由黏性阻尼消耗的能量。圖4分別是由黏性阻尼和減振器消耗振動能量的歷程。可見，最終由黏性阻尼消耗的振動能量是沖擊減振器的2.67倍，沖擊減振器消耗的部分較少。有必要調(diào)整沖擊減振器的設(shè)計(jì)參數(shù)，增大其消耗振動能量的能力，以期更快地抑制結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。另外，從圖4可以看出，當(dāng)響應(yīng)超過約100s以后，碰撞不再發(fā)生。此時，結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)水平已經(jīng)很小，見圖3所示。

3增加沖擊減振器的耗能性能

由沖擊減振器一次碰撞造成的能量損耗公式(10)可知：減小其恢復(fù)系數(shù)Rc，或增加沖擊減振器的質(zhì)量m3，都能增大碰撞造成的振動能量損耗，加快響應(yīng)衰減速度。若減振器的質(zhì)量保持不變，可減小其恢復(fù)系數(shù)，如令Rc=0.4。圖5分別示出了系統(tǒng)的響應(yīng)和振動能量消耗歷程。此時，x2的最大位移下降到0.5766m，降幅達(dá)13.5%。經(jīng)過大約70s，x2的響應(yīng)基本得到抑制。而且由減振器碰撞消耗的能量部分有明顯增大，沖擊減振器的抑振能力有了顯著提高。圖6是附加沖擊減振器前后，質(zhì)點(diǎn)x2位移響應(yīng)譜。可見，在共振頻率ω1＝1.954rad/s附近，抑振效果最明顯。當(dāng)激勵頻率在ωf=1.5~2.5rad/s范圍內(nèi)發(fā)生改變時，沖擊減振器仍然能夠有效抑制響應(yīng)的最大變形，具有較強(qiáng)的抑振穩(wěn)健性。反之，若保持沖擊減振器的恢復(fù)系數(shù)不變Rc=0.6，但增加其質(zhì)量m3=0.1×m2=0.2kg。圖7顯示系統(tǒng)的位移響應(yīng)和振動能量消耗歷程。可見，由減振器碰撞消耗的能量顯著增大，特別是在系統(tǒng)的初始階段(t≤20s)。此時，x2的最大位移下降到0.5335m，降幅達(dá)20.0%。經(jīng)過大約50s，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)既得到有效抑制。沖擊減振器的抑振能力也有了很大的提高。比較圖5與圖7可以看到，增加質(zhì)量的減振效果更加顯著。

4結(jié)論

本文采用數(shù)值方法，通過對一個典型的二自由度結(jié)構(gòu)，附帶一個沖擊減(吸)振器后的瞬態(tài)振動響應(yīng)衰減歷程進(jìn)行模擬計(jì)算，展示了沖擊減振器的速抑振效果，得到了系統(tǒng)的振動能量變化情況。分析了在碰撞發(fā)生時刻，動能的轉(zhuǎn)移、損耗和擴(kuò)散規(guī)律。這對探索沖擊減振器快速抑制結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)的機(jī)理，指導(dǎo)沖擊減振器的設(shè)計(jì)，都具有重要的實(shí)際意義。數(shù)值研究結(jié)果表明：(1)在碰撞發(fā)生時刻，非彈性碰撞不但可以消耗一部分振動能量，還可使振動能量從低階模態(tài)向高階模態(tài)擴(kuò)散轉(zhuǎn)移，這對充分發(fā)揮和利用結(jié)構(gòu)本身的阻尼性能，加快結(jié)構(gòu)響應(yīng)的衰減速度非常有益。(2)由碰撞引起的振動能量損耗，與碰撞前物體的振動速度關(guān)系不大，而且碰撞發(fā)生的時間間隔也并不相等。沖擊減振器質(zhì)量越大，或恢復(fù)系數(shù)越小，其耗能速度越快，減振效果更好。(3)當(dāng)激勵頻率在一定范圍內(nèi)發(fā)生改變時，沖擊減振器仍具有較強(qiáng)的抑振穩(wěn)健性。

作者：王棟單位：西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室