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摘要:本文研究了延遲索賠風(fēng)險模型最小化破產(chǎn)概率的最優(yōu)投資決策問題.利用鞅中心極限定理將風(fēng)險過程逼近為伊藤擴(kuò)散過程,在此基礎(chǔ)上將盈余投資于風(fēng)險市場和無風(fēng)險市場,采用隨機(jī)馬爾可夫控制理論將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的Hamilton-Jacobi-Bellman方程,獲得了最優(yōu)投資策略的顯式表達(dá)式.得到的結(jié)果推廣了延遲索賠風(fēng)險模型的研究.

關(guān)鍵詞:延遲風(fēng)險模型;鞅中心極限定理;最優(yōu)投資;Hamilton-Jacobi-Bellman方程

1引言

近年來,根據(jù)保險公司的實(shí)際運(yùn)行狀況,很多學(xué)者在經(jīng)典保險風(fēng)險模型[1−2]的基礎(chǔ)上提出了許多改進(jìn)模型.其中Water和Papartriandafylou[3]首次提出了帶延遲索賠的風(fēng)險模型,它描述了保險公司會常常遇到的一種情況:在主索賠發(fā)生后的某個不定時間還會產(chǎn)生由此引起的附加索賠,即延遲索賠.諸多學(xué)者對該模型產(chǎn)生了濃厚的興趣.Yuen和Guo[4]研究了一類帶有復(fù)合二項(xiàng)延遲風(fēng)險模型的有限時間破產(chǎn)概率;Yuen[5]等運(yùn)用鞅的方法研究了連續(xù)時間的絕對破產(chǎn)概率;肖鴻民,王英,崔艷君[6]研究了重尾分布L∩D下延遲索賠風(fēng)險模型的精細(xì)大偏差;肖鴻民,劉愛玲,何艷[7]研究了相依賠付帶投資的延遲風(fēng)險模型的極限性質(zhì).隨著金融市場的迅速發(fā)展,保險公司的保費(fèi)收入不斷增加,累積的保險資金越來越多,如何保值增值也是保險公司抵抗風(fēng)險的主要工作.通常運(yùn)作資金的最佳途徑就是投資,但是如何選擇投資策略又成為他們目前所面臨的重要問題.若選擇的好,投資可以給保險公司帶來豐厚的收益.若選擇不好,不但不能從投資中獲得收益,還可能加快公司破產(chǎn)的步伐.關(guān)于保險公司如何選擇投資策略的問題,文獻(xiàn)[8]研究了最優(yōu)比例再保險問題;文獻(xiàn)[9]研究了當(dāng)索賠遵循布朗運(yùn)動時的最小破產(chǎn)概率;文獻(xiàn)[10]研究了擴(kuò)散逼近模型下絕對破產(chǎn)概率最小化的投資與再保險問題;文獻(xiàn)[11]研究了相依雙險種模型的擴(kuò)散逼近及其最優(yōu)再保險問題.最近,文獻(xiàn)[12]又研究了相依多險種模型的擴(kuò)散逼近與最優(yōu)投資.基于上述背景,但不同的是本文針對延遲索賠風(fēng)險模型,討論了最小化破產(chǎn)概率下的最優(yōu)投資策略,這一結(jié)果豐富了延遲索賠風(fēng)險模型的研究并對保險公司的風(fēng)險管理控制有重要的參考價值.本文結(jié)構(gòu)如下,第二部分介紹模型及其擴(kuò)散逼近結(jié)果;第三部分運(yùn)用隨機(jī)控制理論,通過求解相應(yīng)的HJB方程得到了最優(yōu)投資策略的顯式表達(dá)式.

2模型分析與擴(kuò)散逼近

假定保險公司的初始資金為u(u≥0),單位時間收取的保費(fèi)為c(c>0);第i次主索賠的時刻為Si且主索賠額{Xi,i=1,2,•••}獨(dú)立同分布于X,它們的共同分布為F,其一階矩和二階矩存在,分別記為µ(1)X和µ(2)X;延遲索賠額{Yi,i=1,2,•••}獨(dú)立同分布于Y,它們的共同分布為G,其一階矩和二階矩存在,分別記為µ(1)Y和µ(2)Y;延遲賠付間隔{Ti,i=1,2,•••}獨(dú)立同分布于T,它們的共同分布為H.

3帶延遲索賠風(fēng)險投資模型的最優(yōu)投資策略

在承保風(fēng)險過程中,利用擴(kuò)散逼近是為了更好的研究最優(yōu)決策問題.本文考慮最小化破產(chǎn)概率下的盈余投資策略選擇問題.保險公司為了獲得更多收益,一般會將盈余投資于風(fēng)險市場和無風(fēng)險市場.假定保險人將部分盈余投資于股票市場,它的價格過程Pt服從幾何布朗運(yùn)動dPt=aPtdt+bPtdWt,t≥0,其中a,b∈R為常數(shù),a為股票瞬時條件期望收益率,b為股票瞬時條件標(biāo)準(zhǔn)差,Wt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動且獨(dú)立于Bt.

作者：肖鴻民；劉月娣；劉愛玲 單位：西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,