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一、MIDAS權重函數

假設變量yt能夠在t－1到t的時間區間(如每季度)內觀測到一次，另外一個變量x(m)t在同樣的時間區間內能夠觀測到m次(如每天或者m=66)。我們對yt與x(m)t之間的動態關系感興趣，或者說，我們想將回歸方程左邊的變量yt投射到右邊變量x(m)t及其滯后觀測值的歷史序列x(m)(t－j)/m當中。x(m)(t－j)/m的上標m表示較高的采樣頻率，其精確的滯后時間表達為單位區間t－1到t之間一個分數。簡單的MIDAS回歸模型我們稱式(2)為指數Almon滯后項。權重函數B(k;θ)的形式靈活多變，僅使用少數幾個參數呈現各種形狀。Ghysels等［2］使用了兩個參數值的Almon滯后項，即T=2或者θ=［θ1，θ2］。從兩個參數的指數Almon權重函數在不同的參數值下的靈活形態可以看出，即使只有兩個參數，指數Almon權重函數的形態也是十分豐富的。需要指出的是，權重函數遞減的速度決定了式(1)當中滯后項的個數，且由于參數是利用實際數據估計出來的，一旦B(k;θ)的形式確定，滯后項長度的選擇純粹是由數據驅動的。我們稱式(3)為β權重函數，因該式與β權重函數關系密切。與指數Almon權重函數一樣，β權重函數可以呈現許多不同的形態。我們僅介紹了MIDAS多項式的兩種基本表達式，隨著該領域研究成果的增多，許多新的MIDAS多項式被介紹到對混頻數據的研究當中。本文將通過在Matlab中編程從實際數據中估計出MIDAS權重多項式的參數值。

二、數據與參數估計

我們使用混合頻率(每日及每季度)的數據集，①目的是利用每日股票收益率預測季度產出增長率及通貨膨脹率。本文使用(最優頻域濾波器)過濾過的及原始的道瓊斯工業指數(DJI)日收益率來預測美國產出增長率和通貨膨脹率。我們選取的時間區間為1951年1月1日至2010年12月31日。我們選擇了三對樣本內回歸區間及樣本外預測區間，分別為:(1)樣本內回歸區間:1951年第1季度至2008年第4季度;樣本外預測區間:2009年第1季度至2010年第4季度。(2)樣本內回歸區間:1951年第1季度至2006年第4季度;樣本外預測區間:2007年第1季度至2010年第4季度。(3)樣本內回歸區間:1951年第1季度至2004年第4季度;樣本外預測區間:2005年第1季度至2010年第4季度。每個預測區間的均方預測誤差(MSFE)都被計算以方便不同預測模型之間的比較。類似地，我們采用同樣的方法預測新加坡產出增長率和通貨膨脹率。所采用的日股票收益數據為1986年1月1日至2010年12月31日的海峽時報指數(STI)，我們同樣選擇了三對樣本內回歸區間及樣本外預測區間:(1)樣本內回歸區間:1986年第1季度至2008年第4季度;樣本外預測區間:2009年第1季度至2010年第4季度。(2)樣本內回歸區間:1986年第1季度至2006年第4季度;樣本外預測區間:2007年第1季度至2010年第4季度。(3)樣本內回歸區間:1986年第1季度至2004年第4季度;樣本外預測區間:2005年第1季度至2010年第4季度。1.頻域濾波器Ouliaris和Corbae［14］提出了一種新的頻域濾波器(簡稱為FDF)，該濾波器可以提取水平時間序列中的周期性成分，并且能夠輕松地處理時間序列的隨機及確定性趨勢(對平穩序列顯然)。通過一系列的蒙特卡羅實驗，利用數據生成過程如美國實際產出增長率，發現該頻域濾波器相比流行的時域濾波器(HP濾波器及BK濾波器)，其均方預測誤差要低得多。此外，Ou-liaris和Corbae［14］建議的頻域濾波器相比Mari-anne和Robert［15］以及Hodrick和Prescott［16］分別提出的BK濾波器和HP濾波器有一個重要優勢，就是它只需要我們設定一個商業周期的區間，而不需要設定任何參數。以本文為例，我們提取了6—32季度(即1.5—8.0年)區間的產出成分，或者等價地，395.0—2088.5天區間的每日股票收益成分。2.參數估計MIDAS方法關鍵的一步在于估計MIDAS權重函數式(2)及式(3)當中參數(θ1，θ2)的值。參數(θ1，θ2)不僅決定了MIDAS權重函數的形狀，而且同樣決定了式(1)中所包含的滯后項數目的多少。本文試圖從“預測”(Forecasting)及“實時預報”(Nowcasting)兩種情境下分別估計(θ1，θ2)。限于篇幅，我們僅使用如下包含指數Almon權重函數的AR－MIDAS回歸方程。將表1中所得到的參數估計值代入Almon權重函數，就能得到在“實時預報”情境下Almon權重與滯后日之間的關系。類似地，在“預測”情境下，我們利用式(5)AR－MIDAS模型得出參數值(β0，β1，β2)及(θ1，θ2)估計值，如表2所示。

三、預測分析

我們考慮如下的MIDAS預測模型:。其中，Yt代表名義或者對數差分化后的產出增長率。Sqt(Sqt－1)代表對數差分化后的原始季度股票回報率，且經過如式(4)或者式(5)的“季節反應”處理，即乘以因子(1－^β1L)以剔除“季節反應”(下同)。Sudt(Sudt－1)代表對數差分化后的原始日股票回報率的季度加總，Sfd1(Sfdt－1)代表對數差分化后的FDF日股票回報率的季度加總。我們在“實時預報”與“預測”情境下分別進行預測，且在每種情境中選擇以原始季度股票回報率為解釋變量的預測模型作為我們的基準模型，例如，式(6)為“實時預報”情境下的基準模型;式(7)為“預測”情境下的基準模型。這樣處理的目的:一方面，因為季度股票回報率數據與產出增長率及數據處于同一頻率，因而我們可以直接使用其對后者進行預測;另一方面，通過比較(加總的)日股票回報率與季度股票回報率的預測結果，我們可以知道高頻股票回報數據是否包含任何對預測產出增長率有用的信息，且是季度股票回報數據所沒有捕捉到的。同樣地，使用這樣的處理方式可以讓我們檢測MIDAS方法的有效性，即使用MI-DAS權重函數對高頻數據進行加總的同時，盡可能多地保留對預測有用的信息。此外，通過比較FDF日股票回報率(即使用頻域濾波器過濾后的日股票回報率)與原始日股票回報率的預測結果，我們可以知道，在剔除了超高頻的噪音以及可能的季節趨勢之后，我們的預測結果會不會比原始數據來得更好。我們將對產出增長率與通貨膨率的預測結果列示在表3和表4中。我們分別在“實時預報”與“預測”情境下計算出每一個預測模型的均方預測誤差(MSFE)，并且除以每種情境下基準模型的均方預測誤差以便比較。另外，從數據部分的介紹可知，我們所采用的樣本外預測區間分別為h=8，h=16，h=24。

1.名義產出增長率的預測結果分析從表3可以看出，原始股票回報率以及經頻域過濾器過濾過的日股票回報率對預測美國名義產出增長率的作用十分微小，計算出的均方預測誤差(MSFE)與基準模型的均方預測誤差比值都大于1，說明我們所選取的預測模型的預測效果比基準模型要差。同時，在“實時預報”與“預測”情境下，我們很難甄別以原始股票回報率為解釋變量的預測模型(式(8)與式(9))和以FDF股票回報率為解釋變量預測模型(式(10)與式(11))之間的優劣。以上是針對美國名義產出增長率的預測結果分析，看上去令人有些沮喪，因為在加入高頻股票回報率的信息之后，我們的預測模型相比基準模型的預測效果反而更差。不過對新加坡名義產出增長率的預測結果讓人重拾對MIDAS預測模型的信心，對新加坡的預測結果更是相當地鼓舞人心。我們接下來分析對新加坡名義產出增長率的預測結果。表3中用黑體顯示的數值表示，式(8)預測模型以及式(10)預測模型的均方預測誤差相比基準模型式(6)都要低，說明兩者的預測精度比基準模型要高。換句話說，在引入高頻股票數據后(無論是原始的還是經頻域過濾因子過濾過的)，我們改進了對新加坡名義產出增長率的預測精度。另外，很容易看出式(8)預測模型在三個預測區間h=8、h=16、h=24的相對均方預測誤差都比式(10)預測模型的均方預測誤差小。這說明在“實時預報”情境下，式(8)預測模型的預測精度要比式(10)更高。在“預測”情境下，我們一方面能看出式(8)預測模型和式(10)預測模型在三個預測區間的均方預測誤差均比相應的基準模型式(6)和式(7)大，說明引入高頻股票回報率信息后，我們對新加坡名義產出增長率的預測精度反而降低了。另外，對比式(8)與式(10)的預測結果可知，在“預測”情境下，且在三個預測區間當中，式(8)預測模型的相對均方誤差都比式(10)預測模型的相對均方誤差小。綜上所述，對于美國名義產出增長率的預測，無論在“實時預報”還是“預測”情境下，我們的MIDAS預測模型不但沒有提供相比基準模型更多的有用信息，反而降低了預測精度。而且我們也不能在式(8)與式(10)、式(9)與式(11)預測模型做出優劣的判斷。對于新加坡名義產出增長率的預測，我們發現在“實時預報”情境下，式(8)以及式(10)預測模型相比基準模型的預測均有改進，雖然在“預測”情境下我們不能得出類似的結論。最后，無論是在“實時預報”還是“預測”情境下，式(8)預測模型都比式(10)預測模型的預測精度更高。這說明，我們在對原始海峽時報指數(STI)使用頻域過濾因子進行過濾的過程當中，可能把對預測產出增長率有益的信息也過濾掉了，而這些有用的信息包含在高頻噪音以及長期趨勢當中。

2.名義通貨膨脹率的預測結果分析與名義產出增長率預測的情形類似，Yt代表美國或者新加坡的季度通貨膨脹率，sudt(sudt－1)代表對數差分化的原始日股票回報率季度加總，而sfdt(sfdt－1)代表對數差分化的FDF日股票回報率的季度加總。預測結果如表4所示。預測結果顯示，引入高頻股票回報率信息之后，式(8)—式(11)模型的均方預測誤差(MFSE)相比基準模型都小于1(只有使用FDF日股票回報率對美國進行“實時預報”與“預測”時情況例外)，說明高頻股票回報率數據包含有預測有用的信息。具體而言，對美國名義通貨膨脹率的預測，無論在“實時預報”還是“預測”情境下，以原始日股票回報率為解釋變量的MIDAS預測模型相比基準模型有更高的預測精度。以FDF日股票回報率為解釋變量的MI-DAS預測模型相比基準模型隨著預測區間的不同而預測結果不一樣。且在“實時預報”情境下，原始日股票回報率相比FDF日股票回報率包含有更多的有用信息，而在“預測”情境下，我們不能得出類似的結論。對于新加坡名義通貨膨脹率的預測，我們發現無論是在“實時預報”還是“預測”情境下，在對原始海峽時報指數(STI)使用頻域過濾因子進行過濾后，剔除掉了高頻噪音及長期趨勢的影響，的確改進了新加坡通貨膨脹率的預測效果。

3.Diebold－Mariano檢驗Diebold和Mariano［17］提出了一種比較不同預測模型的直接方法，該方法可用于二次損失函數、多期預測以及預測誤差。我們將應用該檢驗比較不同預測指標的預測效果。在實際應用中，我們選取均方誤差損失為我們的損失函數。我們在“實時預報”以及“預測”情境下分別進行比較，而且也對“實時預報”情境下的預測指標以及“預測”情境下的預測指標進行了交叉比較。從表5可知，在“實時預報”情境下，對美國產出增長率的預測，以原始日股票收益率為自變量的預測模型的預測精度相比基準自回歸預測模型要弱(在5%的顯著性水平下)，但與以FDF日股票收益率為自變量的預測模型沒有顯著差別。然而，對美國季度通貨膨脹率的預測，我們發現以原始股票收益率為自變量的預測模型的預測精度比基準模型以及以FDF日股票收益率為自變量的預測模型都要高(在10%的顯著性水平下)，但后兩者之間的差別卻不明顯。對于新加坡產出增長率的預測，本文所采納的三個預測模型之間的預測精度對比沒有顯著差別。我們對新加坡季度通貨膨脹率的預測得出一些新的結果:分別以原始日股票收益率和以FDF日股票收益率為自變量的MIDAS預測模型相比基準自回歸模型的預測精度都要高(顯著性水平為10%)。特別地，我們看到FDF日股票收益率MIDAS模型的預測精度要比原始日股票收益率MIDAS模型高(顯著性水平同樣為10%)，這說明當我們將高頻STI指數可能的季度趨勢以及高頻的噪音過濾掉以后，模型對新加坡季度通貨膨脹率的預測精度相應提高。在“預測”情境下(如表5中欄所示)，我們發現對于美國產出增長率以及季度通貨膨脹率的預測，本文所應用的三個預測模型之間的預測精度均沒有顯著差別。對新加坡產出增長率的預測，檢驗結果告訴我們，以原始日股票收益率為自變量的預測模型的預測精度相比基準自回歸模型要稍差(顯著性水平為10%)，然而，后者與以FDF日股票收益率為自變量的預測模型之間的預測精度沒有顯著差別。對新加坡季度通貨膨脹率的預測，以FDF日股票收益率為自變量的MIDAS模型的預測精度比以原始日股票收率為自變量的MIDAS模型以及基準模型都要高(顯著性水平為5%)，雖然后兩者之間的預測差別并不明顯。這證實了我們在“實時預報”情境下對新加坡季度通貨膨脹率預測的結論。我們再一次看到，采用最優頻率過濾器過濾后的數據在某種程度上的確改進我們的預測精度。我們對比“實時預報”及“預測”情境下的預測模型之間的預測精度，即交叉對比，結果顯示在表5下欄。對于美國產出增長率的預測，我們發現以實時原始日股票收益率為自變量的MIDAS預測模型的預測精度相比以滯后一期的原始日股票收益率為自變量的MIDAS預測模型并沒有顯著改進。對于FDF日股票收益率(實時和滯后一期)情形類似。這說明引進當前季度的股票數據并沒有顯著改善我們對該季度的美國產出增長率的預測效果。然而，對于基準模型，引進當前季度的股票數據的確改進了我們對該季度的美國產出增長率的預測效果(在10%的顯著性水平下)，盡管程度比較弱。對美國季度通貨膨脹率的預測，我們發現三個以實時股票信息為自變量的“實時預報”模型與以滯后一期的股票信息為自變量的“預測”模型之前的預測并沒有顯著差別。對新加坡產出增長率的預測，以實時原始日股票收益率為自變量的MI-DAS預測模型的預測精度相比以滯后一期的原始日股票收益率為自變量的MIDAS預測模型要高，且顯著性水平為1%，但對于其它兩個預測模型，實時股票信息的引進并沒有明顯改善對新加坡產出增長率的預測效果。對新加坡季度通貨膨脹率的預測，我們發現以實時FDF股票信息為自變量的“實時預報”模型的預測精度比以滯后一期的FDF股票信息為自變量的“預測”模型之前要低(顯著性水平為5%)。

四、結論與展望

本文研究了每日股票收益率對產出增長率和季度通貨膨脹率的預測效果。我們采用一個新的頻域濾波器對每日股票收益率進行過濾，以剔除長期趨勢和高頻噪音的影響，并且我們使用從實際數據中估計出來的參數值代入指數Almon權重函數以對每日股票數據進行加總。我們發現使用MIDAS回歸的預測指標對季度通貨膨脹率的預測效果要比對產出增長率的預測效果更理想。我們使用MIDAS模型對新加坡季度通貨膨脹率的預測精度比基準模型要高，無論是原始日股票收益率還是使用頻域濾波器過濾過的(即FDF)日股票收益率都是如此。此外，使用FDF日股票收益率為自變量的MIDAS預測模型比以原始日股票收益率為自變量的MIDAS模型的預測精度要高。在“預測”情境下，使用FDF日股票收益率為自變量的MIDAS模型在三個預測區間內相比基準模型的MSFE值平均要小45%，而在“實時預報”情境下，相對MSFE要比基準模型小25%，這與我們在Diebold－Mariano檢驗得出的結論是一致的。對美國通脹率的預測，我們發現以原始日股票收益率為自變量的MIDAS模型比以FDF日股票收益率為自變量的MIDAS模型預測精度要高，且實時股票收益率改進了預測效果。對于美國和新加坡產出增長率的預測，我們發現MIDAS回歸模型的預測效果相比基準模型并沒有明顯的改善。值得說明的是:首先，限于篇幅，本文只考慮了指數Almon權重函數參數的估計，以及使用它對日股票收益率進行加總。在混頻數據取樣文獻當中，本文所介紹的β權重函數因其靈活性特別高而被廣泛采用。除了這兩個常見的加總函數以外，線性權重函數、雙曲權重函數以及幾何權重函數等都成為MIDAS權重函數的來源，我們可以根據研究的需要來采用合適的權重加總函數。其次，本文主要考慮日股票收益率對宏觀經濟變量產出增長率和通貨膨脹率的預測，而在MIDAS文獻當中，使用該方法對金融市場波動性的預測是極為普遍的，也是MIDAS方法的主要應用領域。

作者：蔡宇單位：山東大學經濟研究院