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1估算網格節點的單位法矢量

1.1網格節點單位法矢量表達式對于三角網格模型，可以參照微分幾何中參數曲面的相關定義和性質估算網格節點的單位法矢量。在圖1中，P點1階鄰域內有m個節點構成m個三角形。

1.2形狀面積權重法估算節點單位法矢量

1.2.1形狀因子的引入權重因子表達節點1階鄰域內三角形的單位法矢量的影響大小，目前有較多文獻提出把三角形面積［4］、頂角、角度正弦、質心距、邊長或這些幾何參數的組合［5-6］作為wi的值。但是這些加權方法沒有表達三角形完整的幾何信息，也沒有量化三角形的形狀對網格節點單位法矢量的影響。

1.2.2形狀面積權重法λ可以描述三角形的形狀質量，對三角形的規整程度進行量化。三角形形狀越規整，λ值越大。通常，在其它條件相同的情況下，1階鄰域內各三角形形狀越規則對節點法矢量的貢獻越大，三角形面積越大對節點法矢量貢獻也越大。因此提出新三角形網格節點法矢量的權重法，稱為形狀面積權重法。在實際應用中，由于離散點分布的不均勻性以及對模型進行的適當簡化，會使得三角網格模型中三角面片的面積存在較大差異性。相對于現有的節點法矢量權重方法，形狀面積權重法量化了三角形的形狀和面積兩個因素對網格節點法矢量的影響。由于形狀和面積兩個因素可以確定一個三角形，形狀面積權重法表達的權重值更準確、全面。因此，該方法能夠有效的提高網格節點法矢量及曲率值的計算精度。

2估算邊曲率

參數曲面及切平面如圖2所示。圖2中，參數曲面S上的一條正則曲線(C)的弧長參數化方程為。則kn=＜α(0)••，n＞稱為曲面S上點P的法曲率。過P點垂直法矢方向的平面為切平面，記作π面。曲面上一點的切向量和法矢量垂直，即有＜α''''(s)，n(s)＞=0。對此式兩邊求導并結合曲線在曲面上這個條件易知。

3估算網格節點曲率值

3.1切平面內任意坐標系下的歐拉公式切平面上主方向構成一組正交基{e1，e2}，如圖3所示，任意單位切向量都可以表示為。

3.2最小二乘法求曲率值在P的1階鄰域內，由式(4)得到m個邊曲率。依據文獻［3］，選擇邊曲率中的最大值為kn(tid)。在P點的切平面建立坐標系。

4算例分析

4.1網格節點法矢量估算誤差分析Taubin在估算網格節點法矢量時采用面積加權，通過比較估算得出的單位法矢量與真實單位法矢量之間的偏差角大小來比較Taubin方法與本方法的法矢量估算精度。圖5所示為球面三角網格模型，其中半徑R=8mm，共886個節點。用Taubin方法和本方法估算的所有節點法矢量與精確法矢量之間的偏差角如圖6所示。顯然，本方法計算得出的節點法矢量偏差角總體較小。圖7選取球面局部50個點的法矢量偏差角以更清晰地顯示對比效果。經進一步分析可知，本方法比Taubin方法具有更小的節點法矢量偏差角最大值、最小值、平均值、方差，如表1所示。分析表明，本文法矢量估算方法精度更高。圖8所示為環面的三角網格模型，共1176個節點，其中半徑R=8mm，r=1.5mm。用Taubin方法和本方法估算的環面網格所有節點法矢量與精確法矢量之間的偏差角如圖9所示，圖10為環面局部50個點的法矢量偏差角。如表2所示，本方法比Taubin方法具有更小的節點法矢量偏差角最大值、最小值、平均值，表明本矢量估算方法精度更高。

4.2網格節點曲率估算誤差分析以上節中球面和環面網格模型的節點平均曲率值為例，本方法與Taubin方法估算誤差及其局部節點示意圖分別如圖11～14所示。考慮到曲率值較小，分析平均曲率估算值的相對誤差，如表3和表4所示。在估算高斯曲率和主曲率時，本方法較Taubin方法更具準確性和穩定性。此外，運用歐拉公式由計算網格節點在三維空間內沿任意方向的法曲率，再在三角面片內進行線性坐標插值［1］可以計算出三角網格曲面上任意點的法矢量及法曲率。

5三角網格數控加工仿真實驗

以經CAE沖壓分析的汽車覆蓋件模具型面局部曲面為例，如圖15所示，采用等殘留高度法對其進行數控加工。在設計刀具路徑時，網格法矢量及曲率值是計算切削步長、確定刀觸點法矢方向、計算刀位點、檢查加工干涉情況等環節的必要參數。因此，高精度的法矢及曲率估算值利于提高數控加工精度。令允許殘留高度δ=0.05mm，分別采用本改進后的方法和Taubin方法［4］計算三角網格刀觸點法矢量和曲率值，在Matlab編程平臺進行等殘留刀位點計算，得到的數控加工刀具路徑如圖16所示。圖17為在數控加工仿真軟件vericut中得到的對應加工效果圖。由結果可知，改進后的法矢量及曲率計算方法較Taubin方法具有更高的精確性，加工誤差小、加工精度高。

6結束語

本研究引入網格形狀因子，量化三角形形狀質量對曲率估算值的影響，提出形狀面積權重法用于計算三角網格節點法矢量。該方法提高法矢量估算精度，減小了曲率估算的誤差，使曲率估算值更接近參數曲面的精確曲率值。在基于三角網格面的數控加工中，精確的曲率值能夠提高切削步長、刀觸點法矢方向、刀位點的計算精度，對提高數控加工刀具路徑精度設計和加工質量具有重要影響。

作者：楊旭靜趙秋艷鄭娟王小芳單位：湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室