前言：我們精心挑選了數篇優質三角函數變換規律文章，供您閱讀參考。期待這些文章能為您帶來啟發，助您在寫作的道路上更上一層樓。

第1篇

關鍵詞：高中數學；三角變換；解題方法

中圖分類號：G632.41 文獻標志碼：B 文章編號：1674-9324（2012）04-0116-02

由于三角函數的變換具有種類多而且方法靈活多變的特點，所以很難讓學生真正的掌握。但是三角變換中的基本規律和思想卻是不變的，我們可以把這些規律概括為公式間的聯系和運用這兩種。

一、三角函數變換中常見的幾種類型

1.“角”度的變換。在進行三角變換解題的過程中，三角函數中角度變換，主要體現在差角、和角、半角、倍角、余角、湊角、補角等之間相互的轉換，角度的變換起到了紐帶的作用。隨著三角函數角度的變換，函數的運算符號、名稱以及次數等都會有一些相應的變化。在對三角問題進行求解的過程當中，由于表達式時常會出現許多相異角，因此，我們就要根據三角角度間和、差、倍、半、補、余、湊等關系，用“已知角”來表示“未知角”，然后再進行相關的運算，使三角變換的問題可以順利的求解。

2.函數名稱的變換。在函數名稱變換中，最為常見的就是切割化弦，這時，我們一般都會從化函數或是化形式方面著手。在三角函數當中，正弦和余弦是六個三角函數中的基礎，它們的應用也是最為廣泛的，其次是正切。通常來講，在進行三角問題求解的過程當中，時常會出現一些不同的三角函數名稱，這時就需要我們把這些不同的三角函數名稱轉換成同名的三角函數，我們最常見的轉化方式就是“切割化弦”與“齊次弦代切”。

3.“形”變換。在我們對三角函數進行化簡、求值或是證明等運算的過程中，有時會根據相關的需要將一些常數如1，■，2+■等轉化成相關的三角函數，然后再利用相關的三角函數公式進行運算。在這些常數當中，利用常數1來進行三角函數變換運算最為普通和廣泛。在進行三角變換時，我們運算時一定要遵循由繁到簡、由簡而易的的規律，只有這樣我們才能在眾多的三角函數公式中找出相關的解題思路，才能明確解題的目標，從而順利的解題。

如：2009年遼寧高考文科試題中，已知tanθ=2，則sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（）

A：■B：■C：-■D：-■

分析：利用已知條件，我們很容易想到這道題需要進行“弦化切”，因此，我們利用已知整式中分母為1的條件，將“1”轉化為sin2α+cos2α，從而進行解答。

二、三角函數變換的幾種常用解題方法

1.“弦函數”與“切函數”間的相互轉換。“弦函數”與“切函數”之間互相的轉換是我們平常對三角函數問題進行解答時，常用的兩種函數轉化的基本手法。若是在三角函數式當中存在著正切函數，我們就能讓學生在解題的時候，利用三角函數之間最基本的關系或是讓“弦函數”轉化成為“切函數”等方式來進行對題目的求解或證明。

2.角的等量代換。在我們解決三角函數的問題過程中，要重點的注意已知角同所求角間的相互關系，適當的使用拆角和拼角的解題技巧。就像α=（α+β）-β=β-（β-α）=■+■或是2α=（α+β）+（α-β）或是2β=（α+β）-（α-β）等。

例如：已知3sinβ=sin（2α+β），求證tan（α+β）=2tanα

證明：因為β=α+β-α，2α+β=α+β+α

所以3sinβ=sin（2α+β）

由此推出3sin（α+β-α）=sin（α+β+α），所以3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，因此推出2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，所以得出tan（α+β）=2tanα。

3.公式的逆用和變用。我們在對三角函數的問題進行解題時，時常會遇到需要對三角公式進行變用或逆用的情況，尤其是公式的變用，常常會因學生的不夠熟練出現錯誤。因此我們要讓學生能夠熟練的運用2sin2x=1-cos2x以及2cos2x=1+cos2x這些三角函數的公式。

4.引入輔助角公式。輔助角公式的引入，是在三角函數變換過程中，兩角和同兩角差之間正弦或是余弦公式形式的變換，它是求三角函數的單調區間、周期等時最為重要的解題手段之一，就像我們將三角函數式asina+bcosα轉變為■sin（α+φ）的形式，在這個三角函數式里φ被稱為輔助角，而這個輔助角的大小則是由tanφ所決定的，它的象限就是由a、b兩個符號所確定的。

例如在2009年重慶高考文科卷2試題中，設函數f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω>0）的最小正周期為■。

（1）求ω的值；

（2）若是y=f（x）的圖像往右平移了■個單位長度得到了函數y=g（x）的圖像，則求函數y=g（x）的單調增區間。

解：（1）f（x）=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx

=sin2ωx+cos2ωx+2=■sin（2ωx+■）+2

則T=■=■，則解得ω=■

解（2）得g（x）=■sin[3（x-■）+■]+2

=■sin（3x-■）+2

由于2kπ-■≤3x-■≤2kπ+■，（k∈Z），所以■kπ+■≤x≤■kπ+■，（k∈Z），所以y=g（x）的單調增區間就是[■kπ+■，■kπ+■]

綜上所述，無論對三角函數進行求值、化簡還是證明，其解題的過程都會是從已知向未知進行轉化的過程，所以，我們要從中找到它們之間的差異，才能順其自然的對三角函數進行轉變。

參考文獻：

[1]葛志峰.三角變換的類型與技巧[J].讀與寫（教育教學刊），2007，（5）.

[2]祁正紅.從一道高考題談三角變換技巧[J].數理化學習（高中版），2007，（18）.

第2篇

關鍵詞：高中數學； 三角函數； 轉變

由于三角函數的變換具有多向性、不定性，因此，學生對其理解不是很透徹，也比較難掌握每一種方法，但是“萬變不離其宗”，其變化的基本思想與規律是不會變換的，下面進行詳細分析.

一、三角函數變換中的幾種常見類型

1.函數名稱變換.在三角函數變換中，最為常見的是函數的名稱變換，在名稱變換的情況中最為常見的是切割化弦.對于三角函數名稱的變換我們可以從化函數或者是化形式的方面進行思考.

在三角函數中，正弦與余弦是六個三角函數的基礎，也是應用最為廣泛的，其次是正切、余切，我們只需要將變換了的三角函數名稱轉換成為同名的三角函數，就能夠成為我們常見的三角函數.比較常見的方式是“切割化弦”、“齊次弦代切”這兩種轉化方式.

2.三角函數“角”的變換.“角”的變換主要體現在了三角函數中的差角、余角、補角、半角等之間相互轉換.隨著三角函數“角”的變換，其相應的運算符號、名稱、次數都會出現一定的變化，在解題的過程中，我們只需要認準三角角度之間的和、差、半、補、余等關系，利用已知的“角”來表示未知的“角”，然后再根據相關的關系運算，就能夠順利的解決三角函數的求解問題.

例1 設A、B均是銳角，且cos（A+B）=1213，cos（2A+B）=35，求cosB=？

分析：從題目中我們知道“已知角”是（A+B）、（2A+B），，B=2（A+B）-（2A+B）.

比較這三者之間的關系，我們只需要將B用A+B、2A+B表示出來，再利用兩角差的余弦公式就能夠輕松的解出cosB.

解：略.

3.三角函數“形”的變換.我們在對三角函數進行轉化、求簡或者求值的過程中，會根據一些情況來講一些常數，比如1，2，1+2等轉換成為與其相關的三角函數，其中利用常數1來轉換是比較常見的.

從上文我們知道了，遇到這種情況，先利用已知條件，因此，我們利用“弦化切”來進行解答.我們利用整式中的分母都是相同4的情況，將其轉換為1，將分母“1”轉化為：sin2α+cos2α，從而簡化解答.

在解答的過程中，我們要遵循由繁到簡、由簡到易的規律.

二、幾種比較常用的三角函數變換解題方法

1.將“弦函數”與“切函數”進行相互的轉換.將“弦函數”與“切函數”進行相互的轉換是在平常的解答三角函數中比較常見的也是兩種基礎的轉換手法.

如，在三角函數式中存在正切函數，我們就可以利用三角函數之間最為基本的關系或者是利用將“弦函數”轉換為“切函數”來進行求解或者是證明.這種方法比較簡單，學生掌握起來也比較快，在三角函數式中應用比較廣泛.

2.采用“角”的等量代換.如，在三角函數中出現已知角與所求角時，我們要判斷兩者之間的相互關系，在確定兩者之間存在某種關系的時候，我們就可以采用“角”之間的等量代換.

比如，α=（α+β）-β=β-（β-α）=（α+β）2+（β-α）2.

采用比較簡單的“角”變換就能夠將一些不容易解的題目變換為我們熟悉的題目來進行求解.

3.公式逆用或者變用對于公式或者定理，我們可以對其進行反推（從結果開始證明到題目），或者是將公式變換來進行用，會取到意想不到的效果.當然這必須建立在對公式或者定理足夠熟悉的基礎上，比如我們可以讓學生熟練的使用2sin2x=1-cos2x、2cos2x=1+cos2x這些基礎的三角函數公式，并作出引導的證明或者變換的證明，讓學生反復練習，達到熟能生巧的地步.

除以上的基本解題方法，我們在教授學生的過程中要培養學生如何自己去解題，不是只會記“題”，要記住“題型”，會變換“題型”，我們所知的三角公式比較多，在解題的過程中假如沒有選對公式或者選錯了方向，那么解題過程就是一個泥潭，會越陷越深，在進行三角函數的變換過程中要：公式選擇必須謹，角的范圍盡量小，變量統一變，不局限一種方法，綜合考慮.

三角變換的基本思想可以總結如下：找差異、建聯系、選公式、促轉化，在三角函數中無論題目是要求求值化簡，還是要求我們證明某一結論，我們都應該將題目的中已知轉化為未知，這也是所有解題的方法之一.根據整體已知的條件，找取相應的部分定理條件，或者是角之間的差異，或者是函數名稱的差異，在找到差異之后，整個題目就迎刃而解了.

參考文獻：

[1] 魯家武.淺談高中數學中三角函數的教學與學習方法及例題研究[J].東西南北?教育觀察，2011（6）：184-185，180.

第3篇

【關鍵詞】 恒等變換 給值求值 給角求值 給值求角 綜合運用

【中圖分類號】G424 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1006-5962(2012)06(a)-0143-02

三角恒等變換是高考的重點之一,要求掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式;高考對本部分內容的考點:一方面是簡單的化簡、求值,以客觀題為主,難度一般不大,有時以向量為載體出現解答題;另一方面本節內容常作為數學工具常融合三角函數,這時要先對三角函數解析式進行化簡、變形,再深入考查三角函數的圖像和性質。還需說明一點的是“幾個三角恒等式”及積化和差、和差化積公式和半角公式不要求記憶和運用,已經淡出高考范圍。本文現從江蘇和全國其他各省近幾年的高考試卷中精選出一些典型考題與大家一起研討高考中這部分內容的命題方向和考查方向,希望能起到一個拋磚引玉的效果。

1 高考命題熱點一:給值求值問題。

【真題再現1】(2011年全國卷理科第14題)已知,,則

【解析】本題考查了同角三角函數的基本關系式與二倍角的正切公式的運用。

由已知得,則,所以。

規律小結:對于給值求值問題,即由給出的某些角的三角函數值求另外一些角的三角函數值,關鍵在于變角,使目標角變換成已知角,若角所在的象限沒有確定則應分情況討論,應注意這部分內容中公式的正用、逆用、變形利用,同時根據題目的結構特征,學會拆角、拼角等技巧,

如,等。

2 高考命題熱點二:給角求值問題。

【真題再現2】(2006年江蘇卷第14題)

【解析】本題考查了切割化弦、輔助角公式

,倍角正弦公式、降冪公式。原式

=

=

=。

規律小結:給角求值問題,一般給出的角都是非特殊角,從表面來看是很難的,但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定的關系。解題時要利用觀察得到的關系,結合三角公式轉化為特殊角并且消去非特殊角的三角函數而得到解,有時還要逆用、變用公式,同時結合輔助角公式和升冪、降冪公式等技巧。

3 高考命題熱點三:給值求角問題。

【真題再現3】(2008年江蘇卷第15題)如圖,在平面直角坐標系中,以軸為始邊做兩個銳角,,它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點,已知A,B的橫坐標分別為。(1)求的值;(2)求的值。

【解析】本題融合三角函數的定義,考查兩角和的正切公式、二倍角的正切公式。由條件得,因為,為銳角,所以=,因此

(1),

(2),所以,因,為銳角則,故=

規律小結:給值求角問題,往往通過間接求出這個角的某個三角函數值,再得出這個角的大小,選取某個三角函數值時可按照下列原則:一般已知是角的正切函數值,則選所求角的正切函數值;已知條件是正弦、余弦函數值,則選所求角的正弦、余弦函數值皆可;若所求角的范圍是,則選該角的正弦函數值較好;若所求角的范圍是,則選該角的余弦函數值較好。解決給值求角問題分三步:第一步是求該角的某個三角函數值,第二步是確定該角所在的范圍,第三步是根據角的范圍寫出所求的角。

4 高考命題熱點四:三角恒等變換與其他數學知識的綜合運用問題。

【真題再現4】(2011年重慶卷第16題)設,

,滿足,求函數在上的最大值和最小值。

【解析】本題考查融合了三角函數的單調性和最值的性質,考查誘導公式、二倍角的正弦公式、降冪公式、公式

,又考查綜合分析問題和解決問題的能力。由已知 ,由得,因此

;由及,解得增區間;由及,解得減區間,所以函數在上的最大值是;又因,則函數在上的最小值為。

【真題再現5】(2009年江蘇卷第15題)設向量

,,。

(1)若與垂直,求的值;

(2)求的最大值;(3)若,求證:∥。

【解析】 本題主要考查融合向量的基本概念與向量平行,考查同角三角函數的基本關系式、

二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式,考查運算和證明得基本能力、綜合分析問題和解

決問題的能力。

(1)由與垂直,,即

,。

(2)4,

,則的最大值是。

(3)由得,即,所以∥。

規律小結:三角恒等變換與其他數學知識的綜合運用,大多以解答題的形式出現,它一方面融合平面向量知識考查化簡、求值、證明恒等式,學生必須掌握好平面向量知識特別是數量積的運算才能順利解答問題;另一方面三角恒等變換為數學解題工具,它往往融合三角函數考查三角函數的圖像和性質(如周期性、單調性、值域、最值等),這類題突破的關鍵是能正確快速地對三角函數進行化簡,化簡的技巧和原則:①采用遇平方降冪的方法使式子的次數盡量低;②采用輔助角公式、切弦互化使式子的函數種類盡量少;③采用已知角表示未知角使式子的角的種類盡量少;④采用通分等變形技巧使式子結構盡量簡單,同時還要注意角的范圍及三角函數的正負。隨著知識的深入還會更多的接觸到三角恒等變換與解三角形(正弦、余弦定理)融合的題型。

5 高考的考查特點分析和方向預測。

上面就一些高考中的三角恒等變換知識進行了深入的分析,通觀全國各省對三角恒等變換的考查,我們發現有以下特點:

(1)分文理科的地區,兩科對三角恒等變換均有考查;文理試題的題目基本相同,難度區分不大。

(2)區分度問題:三角恒等變換部分不會出非常難的題目,一般都是以容易題、中檔題出現。

（3）題型方面:全國各省在選擇題和填空題中都有所考查,更側重填空題;在解答題中考查但難度不大;全國各省高考大多數都是考一道填空題容易題和一道解答形式的中檔題。