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一、概念在教科書中的呈現

1．概念的定義類型對概念的不同定義類型進行分析，不僅能夠促進學習者對概念的更好理解，更重要的是能夠讓學習者領會概念定義的不同種類及含義。北師版教科書中的有些概念沒有明確定義，而是采用直接給出的形式，這在低年級教科書中比較普遍。通過梳理教科書中明確定義的概念并從邏輯學角度對概念的定義類型進行分析，可以將北師版教科書中數學概念的定義概括為：發生定義、關系定義、語境定義、列舉定義、實指定義、描述性定義。發生定義是指從被定義的詞項所指稱的事物的發生、來源方面揭示種差定義的形式。例如最小公倍數，通過從公倍數中選擇最小的倍數來定義；關系定義是指以事物之間的特殊關系作為種差的定義，例如，倒數是以兩個數的乘積為1的特殊關系來定義的；語境定義是指將定義項放在一定的語言環境之中，然后用一個意義相同但被定義項在其中不出現的語句來給被定義項下定義，這種定義強調具體的上下文語境；列舉定義屬于一個概念的外延的對象數目很大，或者種類很多，無法窮盡地列舉，于是就舉出一些例證，以幫助人們獲得關于該概念所指稱對象的一些了解；實指定義通過用手指指著某個對象，從而教會兒童去認識事物和使用語言，這種定義能夠通過具體事物來幫助學生理解概念；描述性定義是指對被定義語詞既有用法的報道或描述（如表4所示）。

2．概念的呈現方式這里所講的概念的呈現方式是指教科書中以什么材料來呈現概念：有些概念只用文字語言來呈現，例如長方體的表面積；有些概念的呈現可能既有文字又包括圖形，在不同的概念呈現中二者的比重不同。通過總結，可以把呈現方式大致分為三種：圖形主導文字輔助型、圖文并茂型和文字描述型。圖形主導文字輔助的這種呈現方式主要分布在北師版低年級教科書中，這個階段的兒童具有皮亞杰關于兒童的發展理論中的具體運算階段的特點，抽象思維能力薄弱，對于文字的認識、理解、使用等方面的能力尚處于較低水平，不能在頭腦中很好地實現文字與其所代表的具體事物的轉化。采用直觀圖形為主，文字輔助的方式（如圖1所示）有利于學生從直觀的圖形獲得對于概念的有效理解。這種呈現方式的概念有：長方體、正方體、球、圓柱、圓錐、圓、線段、射線、直線、角、平角、周角等。圖文并茂呈現方式（如圖2）［6］指的是圖形與文字在呈現概念時不分主次，處于同等的地位，這種呈現方式大多分布在中、高年級的教科書中。隨著學生年齡的增長，對于文字的理解力也逐漸增強，從圖形和文字不同方面對概念進行理解，有利于對概念的不同角度的理解，實現文字與圖形之間的聯系，這有利于發展學生的圖形語言和文字語言。這種呈現方式的概念有：銳角、直角、鈍角、等腰三角形、等邊三角形、梯形、平行四邊形、垂直、周長、面積等。文字描述的呈現方式［7］是指僅采用文字語言來描述概念，沒有搭配對應的圖形。這種概念呈現方式一般分布在高年級的教科書中，這個階段的學生的思維水平和使用文字的能力進一步提升，這為理解文字奠定了基礎。文字描述的概念呈現方式能夠幫助學生實現文字與概念對應的原型之間的轉換，從而發展學生的抽象思維能力。這種呈現方式的概念有：表面積、體積、容積、小數、分數、速度、正數、負數、循環小數、自然數、整數、倍數、因數、最小公倍數、最大公因數、偶數、奇數、質數、合數、倒數、中位數、眾數、約分、通分、方程、比、正比例、反比例、比例尺等。

二、對概念呈現現狀的分析及建議

根據小學生的年齡特征和認知水平，教科書中的概念有些僅給出了概念的名稱，有的只是描述了概念外延的一部分，有的則是采取了定義的方式，這些不同的形式，有利于學生從不同角度去理解概念；同時，北師版教科書概念的呈現情況中也存在一些問題，對問題進行分析從而更好地促進概念的學習。

1．概念的結構方面對北師版教科書中呈現的概念的結構進行分析后發現，書中對于概念的反例的呈現數量明顯少于正例，甚至很多概念沒有呈現反例。例如，在方程的概念結構中，只給出了像x＋5＝10，4y＝380這樣的正例，對于不是方程的反例卻沒有給出。又如，在最簡分數的概念結構中僅呈現了像13這樣的正例，同樣也沒有給出不是最簡分數的反例。這說明北師版教科書對數學概念結構的呈現并不全是完整的，存在缺少反例的現象，而反例對于概念的學習至關重要，正如Markle所說，反例在概念的學習中應該處于主導地位。概念學習本質是對概念屬性的辨認，而例子則是概念屬性的具體化和形象化，對概念的學習有著重要的輔助作用。［8］每個人回憶自己的學習過程就會理解例子的重要性，正如有關研究表明，核心概念教學時，如果沒有后繼的樣例學習和練習，兒童數學問題解決水平較低。正例讓學習者明白概念是什么，反例讓學習者曉得概念不是什么，這種對比的方法，可以讓學生明確概念的關鍵特征，從而加深對概念的理解。在學校教育中，教科書對教學有重要的影響。然而，正如McKinney等人所指出一樣，大部分的教科書中都沒有呈現概念的反例。因此，適當增加教科書中概念的反例數量，以符合學生思維特征的方式呈現它們，并且合理組織正反例，讓學生在正例、反例的對比中去重新認識、理解概念。

2．概念的分類方面對概念進行分類，有利于學生弄清楚概念的含義及概念之間的關系。教科書中按數與代數、圖形與幾何、統計與概率分為三部分內容，在每個單元里介紹其中一部分內容中的概念，這樣有利于學生系統地掌握概念，但是同時不利于學生溝通其他部分內容里的知識的聯系。因為學生在學習概念時，頭腦里的知識不是孤立的，而是相互聯系的。概念教學不能只滿足于告訴學生“是什么”或“什么是”，還應讓學生了解概念的背景和引入它的理由，知道它在建立、發展理論或解決問題中的作用。［11］所以教科書不僅要讓學生知道按照數學課程內容分類的概念是什么，還要讓學生明白為什么這樣分類。例如，面積的概念屬于圖形與幾何的內容，但學生頭腦中有時把面積看成數與代數的內容，因為在用數格子法求面積時學生僅僅關心面積的大小是多少，而忽略了圖形的形狀。由此可見，教科書應該鼓勵學生按照不同的標準給概念分類，這有利于從不同角度看概念，從而溝通概念之間的聯系。

3．概念的定義方面定義在概念學習中是十分有用的，通過定義學生更好地辨別概念相關屬性，從而減少不必要的麻煩。從教科書中的概念定義可以看出，幾乎所有概念的定義方式只有一種，這說明概念的定義方式比較單一，不利于學生從多角度理解概念。而且，概念的定義在教科書中出現的次數較少，有的概念在小學階段只出現一次。針對教科書中定義方式單一，建議采用兩種或多種定義方式結合的方法定義概念。例如，可以先給出分數概念的發生定義，再利用列舉定義給出該概念的一些外延。另外，定義方式要與年齡特點相符合，低年級階段要多采用實指定義，再逐步發展到用文字敘述的其他定義，例如低年級定義正方形，可以指著圖形說像這樣的圖形叫正方形，高年級可以定義它為四邊都相等的長方形叫正方形。同時，在概念學習的不同階段，用不同形式的語言去定義概念，讓不同形式的概念定義多次出現，這使得學生能夠循序漸進地理解概念。

4．概念的呈現方面整體來說，北師版教科書中概念的呈現運用了大量生動活潑的情景、直觀形象的圖形、簡明易懂的文字。但梳理后從中也發現了一些問題，例如在圖形主導的呈現中多數圖形都是從現實物體抽象而來，沒有把圖形與現實物體聯系起來。文字描述的概念對應的圖形有些不是概念的最佳實例，例如，樹葉和簡易鴿子的圖形不是學生日后學習周長中常用例子，且鴿子的圖形相對復雜，有些學生借助它理解周長的概念可能會遇到許多障礙。因此，第一次出現某種圖形時，圖形要與實例一起呈現，同時實例最好是符合概念的最佳實例。文字的力量是巨大的，但這種力量必須在文字被理解的情況下發生。而教科書中存在一些呈現概念的文字較難理解的現象，這不利于學生對新概念的理解。因此，教科書中不能用學生難懂的文字去定義概念，盡量在定義中避免學生不明白的語言。例如體積定義中的“空間”對于學生來說很難理解，而美國加州版教材中關于體積定義“物體所能容納的單位立方體的數目”［12］給了我們定義體積的另一種角度。

三、結語

學校里的學習通常被認為包括概念學習、技能學習和問題解決三部分。［13］例如斯坦福數學學業成就測驗的內容由概念、計算和應用組成。由此看出，概念的學習已經成為各個學科課程內容中不可分割的一部分。教科書作為概念呈現的主要載體，其中概念的呈現方式對于概念的學習有重要影響。數學課程內容中的概念是幫助學生和教師理解數學的基礎，而一本具有合理組織概念、準確定義概念、清晰呈現概念的教科書無疑對教與學都有很大幫助。因此加強概念教學，可以從教科書開始，通過增加教科書中正反例的對比學習等方式提升教科書的質量，使之成為學生進行概念學習的重要資源、教師進行概念教學的有力工具。

作者：杜巖巖單位：首都師范大學初等教育學院